Mereogeometrien sind eine Gruppe spezieller logischer Formalismen um den n-dimensionalen Raum basierend auf mereologischen Kalkülen zu beschreiben. Der Interessenfokus der Mereologie liegt auf Teil-Ganzes-Beziehungen. Der mereologische Kalkül von Clarke etwa ([Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3. ; hier zitiert nach [Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse. Notiz: Doctoral Thesis : S. 120ff) beruht auf der Elementarrelation C(x, y), durch die ‹Individuum x ist mit individuum y verbunden (connected)› ausgedrückt werden soll und die durch die folgenden Axiome bestimmt wird:
A0.1
∀ x (C(x, x)) ∧ ∀ x ∀ y (C(x, y) → C(y, x))
Axiom der Reflexivität und Symmetrie
A0.2
∀ x (∀ y ∀ z (C(z, x) ↔ C(z, y)) → x=y)
Axiom der Extension
Einige der in Clarkes Kalkül möglichen Definitionen sind:
D0.1
DC(x, y)
≡def
ᓓ C(x, y) :
“x ist unverbunden mit y”
D0.2
P(x, y)
≡def
∀ z (C(z, x) → C(z, y))
“x ist Teil von y“
D0.3
PP(x, y)
≡def
P(x, y) ∧ ᓓ P(y, x)
“x ist ein echter Teil von y”
D0.4
O(x, y)
≡def
∃ z (P(z, x) ∧ P(z, y)
“x überlappt y“
D0.6
EC(x, y)
≡def
C(x, y) ∧ ᓓ O(x, y)
“x ist extern verbunden mit y”
D0.7
TP(x, y)
≡def
P(x,y) ∧ ∃ z (EC(z, x) ∧ EC(z, y))
“x ist ein tangentialer Teil von y
D1.1
x=F(α)
≡def
∀ y (C(y, x) ↔ ∃ z (z∊α ∧ C(y, z))
“x ist identisch mit der Fusion der Individuenmenge α”
D1.2
x+y
≡def
F({z : P(z,x) ∨ P(z, y)})
“x+y ist die Summe von x und y” (das beide Individuen umfassende “Gebiet”)
D1.5
x∧y
≡def
F({z : P(z,x) ∧ P(z, y)})
“x∧y ist die Schnittmenge von x und y” (das “Schnittgebiet” der beiden Individuen)
Illustration der Relationen O, TP und EC
Damit kann etwa das folgende Theorem bewiesen werden:
T0.34
∀ x ∀ y ∀ z ((TP(z, x) ∧ P(z, y) ∧ P(y, x)) → TP(z, y)
Hier eine Definition von »Punkt« aus einer Individuenmenge α (wobei Λ die leere Menge sei):
PT(α)
≡def
ᓓ α=Λ ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ y∊α) → (EC(x, y) ∨ (O(x, y) ∧ x∧y∊α))) ∧
∀ x ∀ y ((x∊α ∧ P(x, y)) → y∊α) ∧ ∀ x ∀ y (x+y∊α → (x∊α ∨ y∊α))
(d.h.: Alle Individuen, die einen Punkt konstituieren, sind miteinander verbunden; wenn zwei dieser Individuen überlappen, dann ist auch ihr Schnittgebiet Element der konstituierenden Individuenmenge; jedes Individuum, das ein Element der den Punkt konstituierenden Menge enthält, ist ebenfalls Teil der Menge; schließlich: Wenn ein Element der Punkt-konstituierenden Individuenmenge die “Summe” zweier Individuen ist, müssen auch diese “Summanden” Teil der Menge sein.)
This calculus already allows dealing with topological relations and can be extended easily to a full geometry (i.e., including directions and metric distance). That is, any geometrical configuration can be described by a set of propositions of that calculus. Any analysis or transformation of the geometrical configuration can correspondingly be performed in analogy with the set of propositions by means of logical analyses or transformations (cf., e.g., [Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34. ).
Anmerkungen
Literatur[Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3.[Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34.[Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse.
