Raum und Geometrie

Unterpunkt zu: Bildsyntax
Glossar-English:Space and Geometry

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Raum als Grundkategorie der Bildmorphologie Die Menge der syntaktischen Komponenten wahrnehmungsnaher Zeichen kann im Prinzip in zwei Gruppen aufgeteilt werden: Einerseits gibt es eine abstrakte relationale Basisstruktur. Sie spannt meist mehrere koordinierte Dimensionen auf, in welche die Elemente der zweiten Gruppe eingeordnet werden können. Letztere bilden Systeme perzeptueller Markerwerte, die es überhaupt erst erlauben, die zugrunde liegende Basisstruktur wahrnehmen zu können. In den Worten Kants formt die Basisstruktur eine Kategorie. Bei Bildern ist die Basisstruktur der zweidimensionale Raum, wohingegen die Markerwerte im Wesentlichen aus Farben und Texturen bestehen, die die rein räumliche Struktur sichtbar machen. Aus diesem Grunde heißt über Bilder zu sprechen auch, über Raum zu sprechen. Die Regeln, die unser Sprechen über Raum organisieren (zumindest sofern dieses Sprechen als rational kontrolliert verstanden wird), sind mindestens schon seit der neolithischen Revolution mit der Einführung von Architektur, Ackerbau und den dazu benötigten aufeinander abgestimmten räumlichen Aktivitäten im Fokus der Aufmerksamkeit. Heute beeinflussen vor allem die Kalkülisierung der Geometrie im antiken Griechenland und ihre algebraische Reformulierung im 16. Jd. die Konzeption des “reinen Raums”, der auch der Bildsyntax zugrunde liegt. Geometrische Kalküle als Formalisierung von Raum Ein geometrischer Kalkül ist im Grunde genommen eine Menge von Regeln, die zuallererst die Möglichkeiten festlegen, über sogenannte “geometrische Entitäten” ganz im Abstrakten – d.h. ohne Bezug auf Konkreta mit kontigenten nicht-geometrischen Eigenheiten – zu reden. Diese Regeln bilden die begrifflichen Bestimmungen einer Menge räumlicher Begriffe. Die Begriffe für elementare geometrische Entitäten werden im Wesentlichen durch die Relationen bestimmt, in die sie miteinander eintreten können. Diese werden üblicherweise unterteilt in Beziehungen von Kontakt und Nachbarschaft (topologische Relationen), Beziehungen, die Abstand und Ausdehnung betreffen (metrische Relationen) und Beziehungen hinsichtlich Richtung und Orientierung (direktonale oder projektive Relationen. Über geometrische Begriffe zu verfügen hat vor allem drei Auswirkungen: Der “ontologische” Aspekt der Regeln zeigt sich darin, dass sie uns erlauben, etwas als räumlich zu beschreiben. Etwas als Instanz eines solchen Begriffs zu verstehen, d.h. als eine geometrische Entität, was bedeutet es als ein rein räumliches Etwas zu begreifen – unabhängig von allen anderen Charakterisierungen, die ebenfalls zutreffen mögen (z.B. farbig zu sein, schwer zu sein). “Die Welt erscheint räumlich organisiert, wenn wir ihre Teile mithilfe geometrischer Begriffe unterscheiden.” Der “epistemologische” Aspekt beinhaltet (u.a.), dass die Gestalten, die in Beschreibungen visuellen Wahrnehmens vorkommen, als geometrische (und daher: räumliche) Entitäten verstanden werden können. Das heißt, der Kalkül formalisiert einen abstrakten Teil unseres Verständnisses von der visuellen Wahrnehmung (auch ⊳ Gegenstand der visuellen Wahrnehmung): “Wir sehen die Welt als räumlich organisiert.” Der “argumentative” Aspekt bedeutet schließlich, dass die Regeln des Kalküls angeben, wie eine gegebene Beschreibung räumlicher Gegenstände umgeformt werden kann, ohne die Wahrheit der Beschreibung zu verändern: Diese Umformungen werden meist unter der Bezeichnung ‘räumliches Schließen’ zusammengefasst: “Wenn wir rational über Raum diskutieren, verwenden wir die Kalkül-Regeln für geometrische Begriffe.” Der Standardansatz zu geometrischen Kalkülen ist Euklids axiomatisches System, das auf dem Begriff eines unausgedehnten aber eindeutig lokalisierten »Punktes« beruht: Dieser Begriff ist allerdings ziemlich abstrakt und verhältnismäßig weit entfernt von der Erfahrung mit Raum. Eine Familie von Non-Standard-Geometriekalkülen, die im Wesentlichen erst im 20. Jd. entwickelt wurde und kognitiven Prinzipien mehr gerecht zu werden versucht, bietet eine Formalisierung von Geometrie ohne dieses Problem und mit interessanten Eigenschaften für die Bildmorphologie: ‘Mereogeometrien’. Euklidische Geometriekalküle Vor mehr als 2000 Jahren wurde das erste axiomatische System der Geometrie von Euklid vorgeschlagen. Ausgehend von einer Menge grundlegender Postulate (sog. ‘Axiome’) können in diesem System Schlussfolgerungen gezogen werden, um formal (d.h. nur mittels logischer Deduktion) Theoreme über geometrische Objekte und deren Eigenschaften und Relationen zu beweisen. Die Diskussion dieses Ansatzes insbesondere über die Unabhängigkeit der fünf Grundpostulate hat tatsächlich in der Folge zu verschiedenen Varianten solcher geometrischer Kalküle geführt, die den Bereich der ‘synthetischen Geometrie’ bilden. Im 16. Jd. entwickelte Descartes ([Descartes 1637a]Descartes, René (1637): La géométrie. Jan Maire, Leiden. Notiz: Anhang des ‘Discours de la méthode’ ) einen alternativen, auf algebraischen Formeln beruhenden Formalismus – Orte werden durch Zahlen beschrieben, die deren Entfernungen zu einem “Ursprungspunkt” relativ zu Koordinatenachsen enkodieren (“kartesische Koordinaten”). Von dieser ‘analytischen’ Geometrie, die letztlich zu den heute zumindest im technischen Bereich meist verwendeten Vektorkalkülen des Raumes geführt hat, konnte formal bewiesen werden ([Hilbert 1899a]Hilbert, David (1899): Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig. ), dass sie vollkommen äquivalent zu Euklids Kalkül ist. Alle geometrischen Objekte werden wesentlich betrachtet als Mengen individueller Orte, genannt ‘Punkte’, die, wie Euklid sich ausdrückte, das sind, “was keine Teile hat”. Punkte können in einer oder mehreren Dimensionen organisiert sein – abhängig von der Menge der unabhängigen (‘orthogonalen’) Koordinatenachsen, die mit den Hauptrichtungen assoziiert sind. Jede Achse organisiert die Punkte zudem gemäß den reellen Zahlen. Daher sind die Euklidischen Punkte notwendig in einem Kontinuum angeordnet. Mit den Regeln des Geometriekalküls werden räumliche Homogenität (Invarianz gegenüber Translation des Koordinatenursprungs) und Isotropie (Invarianz gegenüber Rotation der Koordinatenachsen) erreicht, die letztlich die Basis bilden für die syntaktische Dichte des Bildraumes. Allerdings führt die übliche euklidische Formalisierung der Geometrie auch zu der unerwünschten Folge, dass die grundlegenden Pixeme notwendig unausgedehnte Punkte sind – ein hochabstrakter, von der Erfahrung weit entfernter Begriff also. Jede ausgedehnte Region – und damit letztlich auch jedes Pixem – muss dann aus einer unendlich großen Menge elementarer geometrischer Objekte bestehen, ganz im Gegensatz zur Gestalt-Konzeption der (Raum-)Wahrnehmung. Mereogeometrische Kalküle Einige Nichtstandard-Kalküle des Raumes liefern einen interessanten Ausweg aus diesem Dilemma: Mereogeometrien sind das Ergebnis eines formalen Ansatzes zur Geometrie, die im Wesentlichen im 20. Jd. entwickelt wurden, und die versuchen, den fundamentalen kognitiven Prinzipien gerecht zu werden. Wenn ein Punkt, wie Euklid dachte, das sein soll, “was keine Teile hat”, dann sollten Teil-Ganzes-Beziehungen offensichtlich als zentrale Elemente der Geometrie betrachtet werden. Zumindest für eine Begründung des Bildraumes wären geometrische Entitäten “mit” Teilen die natürlicheren Kandidaten. Im Gegensatz zu den Geometriekalkülen im Stile Euklids ist die Familie der mereogeometrischen Kalküle auf dem Begriff einer Region aufgebaut, einer ausgedehnten Einheit, die unterscheidbare echte Teile haben mag oder auch nicht. Diese Regionen werden in der Mereogeometrie oft auch “Individuen” genannt, da sie als unhintergehbare Grundelemente des Kalküls gelten. Sie haben keine unmittelbaren Form- oder Positionseigenschaften: Lediglich die Beziehungen zu anderen Individuen, die insbesondere ihre Teile sein können oder von denen sie ein Teil sind, bestimmen Form, Ausdehnung und relative Lage: Die Form etwa ist determiniert durch die Relationen zwischen den Teilregionen eines Gebiets. Während in Euklidischen Geometrien zunächst die unendlich große Menge des Kontinuums von Koordinaten eingeführt wird, die die potentiellen Punkte bestimmen, von denen einige dann als relevant ausgewählt werden (in aller Regel sind das für praktische bedeutsame Fälle immer noch unendlich viele), beginnen mereogeometrische Kalküle mit einer (für gewöhnlich endlichen) Anzahl relevanter Regionen (“Individuen”). Ein solches Individuum kann man sich – den wahrnehmungspsychologischen Prinzipien der Gestaltschule folgend – sehr wohl auch als eine visuelle Gestalt vorstellen: Man muss zunächst das wahrgenommene Ganze betrachten und sollte die Begriffe der perzeptuellen Atome erst danach als Instrumente zum Erklären der Gestalten einführen, nicht umgekehrt. Schließlich sehen Menschen – und das gilt insbesondere auch für die Bildwahrnehmung – keine unendlich großen Mengen null-dimensionaler Punkte, sondern ausgedehnte Gestalten. Der abstrakte Begriff einer räumlichen Einheit ohne Ausdehnung ist sekundär und zu dem Zweck konstruiert, einige Aspekte des Erfahrungsraums zu erläutern, während er an anderer Stelle zu ernsthaften Problemen führt. Da Raum traditionell durch Punkt-basierte Geometriekalküle begriffen wurde, ist immerhin zu bemerken, dass die Eigenschaften des Euklidischen Raumes (d.h. des durch Euklidische Kalküle beschriebenen Raumkonzepts) im Großen und Ganzen durchaus zu unseren allgemeinen Vorstellungen von Raum passen. Daher sollte es auch nicht überraschen, dass die meisten mereogeometrischen Kalküle zu Systemen führen, die dem Euklidischen Raum äquivalent sind [Borgo & Masolo 2010a]Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010): Full Mereogeometries. The Review of Symvbolic Logic, 3, 4. Webadresse: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.98.2266 . Diese Tatsache verdeutlicht, dass unsere Kognitionen von Raum ziemlich stabil und praktisch sind und nicht von der Wahl der geometrischen Primitive abhängt. Tatsächlich geht es auch nicht darum, lediglich die Eigenarten des Alltagsbegriffs von Raum abzudecken. Die Pointe liegt vielmehr darin zu erläutern, wie wir diesen spezifischen Begriff von Raum kognitiv erreichen. Die primäre Frage, die Mereogeometrien aus dieser Perspektive zu beantworten suchen, ist daher, welche Primitive auf ausgedehnte Objekte anwendbar sind, die ausdrucksstark genug sind, den Alltagsbegriff von Raum zu entfalten. Geometriekalküle und bildmorphologische Strukturen Die Forschung zu mereogeometrischen Kalkülen stützt in der Tat einen irritierenden bildmorphologischen Befund: das Fehlen von Einschränkungen für die Wahl der morphologischen Primitive. In beiden Bereichen kommt man leicht zu äquivalenten Formalismen obwohl man von ganz unterschiedlichen Voraussetzungen ausgegangen ist. Daher darf die Wahl der Primitive nicht nur von rein formalen Eigenschaften abhängen, sondern muss von Argumenten und Beobachtungen aus anderen, insbesondere kognitiven, evolutionären, mentalen und wahrnehmungspsychologischen Perspektiven unterstützt werden. Die Entwicklung der geometrischen Kalküle bis hin zu den Mereogeometrien führt zu geometrischen Ansätzen, die, indem sie unterschiedliche Primitive ausnutzen, ganz zwanglos verschiedene formale Systeme mit äquivalenter Ausdrucksstärke hervorbringen. Einerseits führt die Suche nach der Grundlegung von Pixemen (als Primitive wie als Prototypen) direkt zu einer Debatte, die der Diskussion der fundamentalen geometrischen Entitäten entspricht. Andererseits legt der Wunsch, mit einem Computerprogramm komplexe Bilder zu erzeugen oder zu verstehen, (zumindest in der Theorie) die Existenz einer begrenzten Zahl von Basispixemen nahe, die in einem formalen Kalkül bei beschränkter Komplexität beliebig kombinierbar sein sollen (⊳ image processing, digital). Pixeme als geometrische Entitäten Im Kontext der morphologischen Struktur von Bildern beschreibt der geometrische Kalkül, wie wir (rational) über die Basisstruktur der Bildebene und den darin enthaltenen Pixemen reden. Eine Basisstruktur, die den Regeln, wie sie vom Kalkül vorgeschrieben sind, nicht erfüllt, führt zu syntaktisch unkorrekten Bildern. Mit einem punkt-basierten Kalkül werden Pixeme verstanden als (unendliche) Mengen von Punkten, die durch Gestalt-organisierende Prozesse auf den visuellen Markerwerten (⊳ Farbe als bildsyntaktische Kategorie) bestimmt sind. Die unendlich vielen Punkte, die jedes Pixem enthält, sind letztlich Orte, die lediglich potentiell von Interesse sein könnten: Sie mögen morphologisch relevant werden, wenn man den gerade betrachteten Bildträger mit einem anderen Bildträger vergleicht. Entsprechend kommt in Euklidischen Kalkülen ein Begriff der Auflösung nicht vor: Der hypothetische Auflösungsfaktor ist hier immer unendlich – entsprechend einer Gottesperspektive auf Raum. Bei einem mereogeometrischen Kalkül sind Pixeme “Individuen”, also primitive Entitäten des Kalküls. Wenn wir davon ausgehen, dass die Gestalt-Prinzipien, die visuelles Wahrnehmen organisieren, genau solche Regionen bestimmen, die syntaktisch relevant sind, können diese Pixeme also ganz zwanglos als etwas in der Wahrnehmung Gegebenes aufgefasst werden. Es besteht keine Notwendigkeit, weitere Punkte zu betrachten. Punkte, Auflösung und Mikroskopierung Während Mereogeometrien mit reinem Raum beschäftigt sind, muss Bildmorphologie weitere Faktoren berücksichtigen, wie Granularität (die sehr grundlegende Eigenschaften, wie Kontakt zwischen Entitäten und damit die Topologie an sich beeinflusst). In der Tat kann in der Mereogeometrie der Begriff einer kleinsten Region durchaus eingeführt werden: Sie werden in den Kalkülen für gewöhnlich “Punkte” genannt, könnten aber ebenso gut als “Pixel” bezeichnet werden. Ein solcher Punkt, der sich offensichtlich deutlich vom Euklidischen Punktbegriff unterscheidet, ist im wesentlichen definiert über eine Region, die keine echte Teilregion im Kalkül aufweist (d.h.: es werden keine solchen Teile betrachtet!). Wenn der Begriff »Punkt« auf mereogeometrische Weise eingeführt wird, ist es bei der Betrachtung eines konkreten Falles – bei Betrachtung eines endlichen Raumbereichs – nicht notwendig, unendlich viele solcher Punkt-Regionen zu berücksichtigen. Lediglich “relevante” Punkte müssen instantiiert werden. Das bedeute zugleich, dass ein solcher Kalkül den Raum stets mit endlicher Auflösung erfasst. Allerdings haben N. Asher & L. Vieu ([Asher & Vieu 1995a]Asher, Nicholas & Vieu, Laure (1995): Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology. In: IJCAI-95. Morgan Kaufmann. ) durch eine modale Erweiterung ihres mereogeometrischen Kalküls einen “Mikroskopierung” genannten formalen Mechanismus vorgeschlagen, der eine Art Zooming-Operation darstellt: Was auf einer Betrachtungsebene ein Punkt ist, kann dann auf einer anderen, mikroskopierten Betrachtungsebene eine zusammengesetzte Region sein, die aus mehreren (relevanten) Punkten besteht. Die leere Bildfläche und Maximalpixeme Im Gegensatz zu den Räumen der Standardgeometrien ist der Bildraum stets nach außen beschränkt: Die Bildebene besteht aus einem einzigen Maximalpixem, das kein Teil eines anderen Pixems des Bildes ist – Fernande Saint-Martin verwendet hierfür den Ausdruck „basic picture plane ([Saint-Martin 1987a]Saint-Martin, Fernande (1987): Sémiologie du langage visuel. Presses de l’Université du Quebec, Montréal. Notiz: Englisch: Semiotics of Visual Language. Bloomington, Indianapolis: Indiana University Press. ). Die für mereogeometrische Kalküle zentrale Unterscheidung des abgeschlossenen, d.h. seine Grenze mit umfassenden Individuums gegenüber dem Teilindividuum, das dem Ersteren ganz entspricht ohne aber die Grenze selbst zu beinhalten, liefert einen unmittelbaren Ansatz für die Unterscheidung des Rahmens vom eigentlichen Bild (⊳ Rahmung, Rahmen). Abb. 1: Rechteckiges Maximalpixem mit “energetischem Phänomen” nach Saint-Martin Wird die übliche rechteckige Grundform der Bildfläche gewählt, ergeben sich bei mereogeometrischer Betrachtung zudem insbesondere vier Individuen, die als (mereogeometrische) Punkte zu betrachten sind: die vier Ecken. Dabei dürfte die energetische Aufladung der Eckregionen, auf die etwa Saint-Martin in ihrer bildmorphologischen Abhandlung hinweist (s. Abb. 1), mit der Konstruktion des Punktkonzeptes innerhalb der meisten mereogeometrischen Kalküle zusammenhängen: Im mereogeometrischen Kalkül von Tarski etwa werden Punkte als Klasse aller im Kalkül betrachteten konzentrischen Kreise eingeführt ([Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929): Les fondement de la géometrie des corps. Société polonaise de mathématique, Cracovie. Notiz: Erweiterte Fassung in Tarksi: <em>Logique, Sémantique, Métamathématique</em>. A. Colin, Paris 1972, Vol. 1, 27-34 ). Für jede Ecke einer rechteckigen Bildfläche müssen in einer Beschreibung also entsprechende Kreisindividuuen instanziiert werden – ihre in der Bildfläche liegenden Teile entsprechen den Energielinien Saint-Martins. Weitere Aspekte Bildsemantische Aspekte der Geometrie Die in geometrischen Kalkülen gefassten Raumkonzepte spielen natürlich auch eine wichtige Rolle in der Bildsemantik: Die Projektion einer dreidimensionalen Szene auf eine zweidimensionale Bildfläche gehorcht Regeln, die sich insbesondere (wenn auch nicht ausschließlich) aus den Kalkülen der projektiven Geometrien ergeben. Auf diese Zusammenhänge wird im Lemma Perspektive und Projektion näher eingegangen. Zeit als Raum Physikalisch wird auch die zeitliche Erstreckung und Anordnung als weitere (4.) geometrische Dimension gefasst. Dies spielt in der Bildphilosophie entsprechend bei Film, Video, Fernsehen und anderen Bewegtbildformaten eine Rolle. Im strengen physikalischen Sinne wird allerdings die zeitliche "Raumrichtung" von den räumlichen Dimensionen oft dadurch hervorgehoben, dass sie als imaginäre Achse eines vierdimensionalen komplexen Vektorraumes angesetzt wird oder umgekehrt die eigentlichen Raumanteile als imaginäre Dimension die Zeit als einzige reelwertige Dimension ergänzen (sog. Quarternionen). Auch in der Computergraphik werden solche Quarternionen zur Berechnung von Transformationen von 3D-Modellen verwendet. Insbesondere Drehungen im Raum lassen sich auf diese Weise besonders einfach formal behandeln.

Anmerkungen Literatur [Asher & Vieu 1995a]Asher, Nicholas & Vieu, Laure (1995): Toward a Geometry of Common Sense: A Semantics and a Complete Axiomatization of Mereotopology. In: IJCAI-95. Morgan Kaufmann.[Aurnague & Vieu 1993a]Aurnague, Michel & Vieu, Laure (1993): A Three-Level Approach to the Semantics of Space. In: Zelinsky-Wibbelt, C. (Hg.), The Semantics of Prepositions – From Mental Processing to Natural Language Processing. Mouton de Gruyter, Berlin.[Borgo & Masolo 2010a]Borgo, Stefano & Masolo, Claudio (2010): Full Mereogeometries. The Review of Symvbolic Logic, 3, 4.[Descartes 1637a]Descartes, René (1637): La géométrie. Jan Maire, Leiden.[Goodman 1968a]Goodman, Nelson (1968): Languages of Art. Hackett, Indianapolis.[Herskovits 1986a]Herskovits, Annette (1986): Language and Cognition – An Interdisciplinary Study of the Prepositions in English. Cambridge Univ. Press, Cambridge.[Hilbert 1899a]Hilbert, David (1899): Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig.[Kant 1968a]Kant, Immanuel (1968): Kritik der reinen Vernunft. de Gruyter, Berlin.[Saint-Martin 1987a]Saint-Martin, Fernande (1987): Sémiologie du langage visuel. Presses de l’Université du Quebec, Montréal.[Schirra 1994a]Schirra, Jörg R.J. (1994): Bildbeschreibung als Verbindung von visuellem und sprachlichem Raum. DISKI, St. Augustin.[Tarski 1929a]Tarski, Alfred (1929): Les fondement de la géometrie des corps. Société polonaise de mathématique, Cracovie. Verantwortlich: Borgo, Stefano Schirra, JRJ Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra, Tobias Schöttler, Marcel Lemmes und Emilia Didier — (Hinweis)