Exkurs:Mereogeometrien

Exkurs zu: Raum und Geometrie

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Mereogeometrien sind eine Gruppe spezieller logischer Formalismen um den n-dimensionalen Raum basierend auf mereologischen Kalkülen zu beschreiben. Der Interessenfokus der Mereologie liegt auf Teil-Ganzes-Beziehungen zwischen sogenannten Individuen. Anschaulich kann man sich Individuen als ausgedehnte Teile des Raumes vorstellen. Beispiel: Axiome Der mereologische Kalkül von Clarke, der hier als Beispiel angeführt werden soll ([Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3. ; hier zitiert nach [Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse. Notiz: Doctoral Thesis : S. 120ff), beruht auf der Elementarrelation C(x, y), durch die ‹Individuum x ist mit Individuum y verbunden (connected)› ausgedrückt werden soll und deren Eigenschaften durch die folgenden Axiome bestimmt wird: A0.1 ∀ x (C(x, x)) ∧ ∀ x ∀ y (C(x, y) → C(y, x)) Axiom der Re­fle­xi­vi­tät und Sym­me­trie A0.2 ∀ x (∀ y ∀ z (C(z, x) ↔ C(z, y)) → x=y) Axiom der Ex­ten­sion Definitionen und Beweise von Theoremen Einige der in Clarkes Kalkül möglichen Definitionen sind: D0.1 DC(x, y) ≡def ¬ C(x, y) : ›x ist un­ver­bun­den mit y‹ D0.2 P(x, y) ≡def ∀ z (C(z, x) → C(z, y)) ›x ist Teil von y‹ D0.3 PP(x, y) ≡def P(x, y) ∧ ¬ P(y, x) ›x ist ein ech­ter Teil von y‹ D0.4 O(x, y) ≡def ∃ z (P(z, x) ∧ P(z, y) ›x über­lappt y‹ D0.6 EC(x, y) ≡def C(x, y) ∧ ¬ O(x, y) ›x ist ex­tern ver­bun­den mit y‹ D0.7 TP(x, y) ≡def P(x,y) ∧ ∃ z (EC(z, x) ∧ EC(z, y)) ›x ist ein tan­gen­tia­ler Teil von y‹ D1.1 x=F(α) ≡def ∀ y (C(y, x) ↔ ∃  z (z∊α ∧ C(y, z)) ›x ist iden­tisch mit der Fu­sion der In­di­vi­du­en­menge α‹ D1.2 x+y ≡def F({z : P(z, x) ∨ P(z, y)}) ›x+y ist die Summe von x und y‹ (das beide In­di­vi­duen um­fas­sen­de “Ge­biet”) D1.5 x∧y ≡def F({z : P(z, x) ∧ P(z, y)}) ›x∧y ist die Schnitt­menge von x und y‹ (das “Schnitt­ge­biet” der bei­den In­di­vi­duen) Illustration der Relationen O, TP und EC    Damit kann etwa das folgende Theorem formal bewiesen werden: T0.34 ∀ x ∀ y ∀ z ((TP(z, x) ∧ P(z, y) ∧ P(y, x)) → TP(z, y) (d.h.: Jeder Randbereich (z) einer Region (x), der auch Teil eines Teils von x ist (nämlich von y), ist auch Randbereich jenes Teils) »Punkte« Hier eine Definition von »Punkt« aus einer Individuenmenge α (wobei Λ die leere Menge sei): PT(α) ≡def ¬ α=Λ ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ y∊α) → (EC(x, y) ∨ (O(x, y) ∧ x∧y∊α))) ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ P(x, y)) → y∊α) ∧ ∀ x ∀ y (x+y∊α → (x∊α ∨ y∊α)) (d.h.: Alle Individuen, die einen Punkt konstituieren, sind miteinander verbunden; wenn zwei dieser Individuen überlappen, dann ist auch ihr Schnittgebiet Element der konstituierenden Individuenmenge; jedes Individuum, das ein Element der den Punkt konstituierenden Menge enthält, ist ebenfalls Teil der Menge; schließlich: Wenn ein Element der Punkt-konstituierenden Individuenmenge die “Summe” zweier Individuen ist, müssen auch diese “Summanden” Teil der Menge sein.) Mit diesem Kalkül ist es bereits möglich, topologische Relationen zu behandeln. Er kann zudem leicht zu einer Vollgeometrie (d.h. inklusive Richtungen und metrischer Distanz) erweitert werden. Das heißt, jede geometrische Konfiguration kann durch eine Menge von Propositionen dieses Kalküls vollständig beschrieben werden. Jede Analyse oder Transformation einer geometrischen Konfiguration kann den Regeln des Kalküls entsprechend durch logische Analyse oder Transformation jener Propositionenmenge durchgeführt werden (vgl. etwa [Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34. ).

Anmerkungen Literatur [Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3.[Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34.[Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse. Verantwortlich: Schirra, Jörg R.J. Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra und Marcel Lemmes — (Hinweis)