Exkurs:Mereogeometrien

Exkurs zu: Raum und Geometrie

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Mereogeometrien sind eine Gruppe spezi­eller logi­scher Forma­lismen um den n-dimen­siona­len Raum basie­rend auf mereo­logi­schen Kalkü­len zu beschrei­ben. Der Inte­ressen­fokus der Mereo­logie liegt auf Teil-Ganzes-Bezie­hungen zwischen soge­nannten Indi­viduen. Anschau­lich kann man sich Indi­viduen als ausge­dehnte Teile des Raumes vorstel­len. Beispiel: Axiome Der mereologische Kalkül von Clarke, der hier als Beispiel ange­führt werden soll ([Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3. ; hier zitiert nach [Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse. Notiz: Doctoral Thesis : S. 120ff), beruht auf der Ele­mentar­rela­tion C(x, y), durch die ‹Indi­viduum x ist mit Indi­viduum y verbun­den (connec­ted)› ausge­drückt werden soll und deren Eigen­schaften durch die folgen­den Axi­ome bestimmt wird: A0.1 ∀ x (C(x, x)) ∧ ∀ x ∀ y (C(x, y) → C(y, x)) Axiom der Re­fle­xi­vi­tät und Sym­me­trie A0.2 ∀ x (∀ y ∀ z (C(z, x) ↔ C(z, y)) → x=y) Axiom der Ex­ten­sion Definitionen und Bewei­se von Theore­men Einige der in Clarkes Kalkül mögli­chen Defi­niti­onen sind: D0.1 DC(x, y) ≡def ¬ C(x, y) : ‹x ist un­ver­bun­den mit y› D0.2 P(x, y) ≡def ∀ z (C(z, x) → C(z, y)) ‹x ist Teil von y› D0.3 PP(x, y) ≡def P(x, y) ∧ ¬ P(y, x) ‹x ist ein ech­ter Teil von y› D0.4 O(x, y) ≡def ∃ z (P(z, x) ∧ P(z, y) ‹x über­lappt y› D0.6 EC(x, y) ≡def C(x, y) ∧ ¬ O(x, y) ‹x ist ex­tern ver­bun­den mit y› D0.7 TP(x, y) ≡def P(x,y) ∧ ∃ z (EC(z, x) ∧ EC(z, y)) ‹x ist ein tan­gen­tia­ler Teil von y› D1.1 x=F(α) ≡def ∀ y (C(y, x) ↔ ∃  z (z∊α ∧ C(y, z)) ‹x ist iden­tisch mit der Fu­sion der In­di­vi­du­en­menge α› D1.2 x+y ≡def F({z : P(z, x) ∨ P(z, y)}) ‹x+y ist die Summe von x und y› (das beide In­di­vi­duen um­fas­sen­de “Ge­biet”) D1.5 x∧y ≡def F({z : P(z, x) ∧ P(z, y)}) ‹x∧y ist die Schnitt­menge von x und y› (das “Schnitt­ge­biet” der bei­den In­di­vi­duen) Illustra­tion der Rela­tionen O, TP und EC    Damit kann etwa das folgende Theorem formal bewie­sen werden: T0.34 ∀ x ∀ y ∀ z ((TP(z, x) ∧ P(z, y) ∧ P(y, x)) → TP(z, y) (d.h.: Jeder Randbe­reich (z) einer Region (x), der auch Teil eines Teils von x ist (nämlich von y), ist auch Randbe­reich jenes Teils) »Punkte« Hier eine Definition von »Punkt« aus einer Indi­viduen­menge α (wobei Λ die leere Menge sei): PT(α) ≡def ¬ α=Λ ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ y∊α) → (EC(x, y) ∨ (O(x, y) ∧ x∧y∊α))) ∧ ∀ x ∀ y ((x∊α ∧ P(x, y)) → y∊α) ∧ ∀ x ∀ y (x+y∊α → (x∊α ∨ y∊α)) (d.h.: Alle Individuen, die einen Punkt konsti­tuieren, sind mit­einan­der verbun­den; wenn zwei dieser Indi­viduen über­lappen, dann ist auch ihr Schnittge­biet Ele­ment der konsti­tuieren­den Indi­viduen­menge; jedes Indi­viduum, das ein Ele­ment der den Punkt konsti­tuieren­den Menge enthält, ist eben­falls Teil der Menge; schließlich: Wenn ein Ele­ment der Punkt-konsti­tuieren­den Indi­viduen­menge die “Summe” zweier Indi­viduen ist, müssen auch diese “Summan­den” Teil der Menge sein.) Mit diesem Kalkül ist es bereits möglich, topo­logische Rela­tionen zu behan­deln. Er kann zudem leicht zu einer Vollgeo­metrie (d.h. einschließ­lich Richtun­gen und metri­scher Distanz) erwei­tert werden. Das heißt, jede geo­metri­sche Konfi­gura­tion kann durch eine Menge von Propo­sitio­nen dieses Kalküls vollstän­dig beschrie­ben werden. Jede Ana­lyse oder Transfor­mation einer geo­metri­schen Konfi­gura­tion kann den Regeln des Kalküls entspre­chend durch logi­sche Ana­lyse oder Transfor­mation jener Propo­sitionen­menge durchge­führt werden (vgl. etwa [Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34. ).

Anmerkungen Literatur [Clarke 1981a]Clarke, Bowman, L. (1981): A Calculus of Individuals Based on ‘Connection’. Notre Dame Journal of Formal Logic, 22, 3.[Pratt-Hartmann 2000a]Pratt-Hartmann, Ian (2000): Empiricism and Rationalism in Region-based Theories of Space. Fundamenta Informaticae, 34.[Vieu 1991a]Vieu, Laure (1991): Sémantique des relations spatiales et inférences spatio-temporelles: Une contribution á l'étude des structures formelles de l'espace en Langage Naturel. INRI, Université Paul Sabatier, Toulouse. Ausgabe 1: 2013 Verantwortlich: Schirra, Jörg R.J. Lektorat: Schöttler, Tobias Seitenbearbeitungen durch: Joerg R.J. Schirra und Marcel Lemmes — (Hinweis) Zitierhinweis: Schirra, Jörg R.J. (2013). Mereogeometrien (Exkurs). (Ausg. 1). In: Schirra, J.R.J.; Halawa, M. & Liebsch, D. (Hg.), Glossar der Bildphilosophie. (2012-2026). [bildglossar.org/index.php?title=Exkurs:Mereogeometrien].